Формулы и аксиомы планиметрии

Планиметрия — это раздел геометрии, изучающий двумерные фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.

Фигуры планиметрии по математике: треугольники, окружности, прямоугольники, параллелограммы, квадраты, ромбы

Здесь Вы найдете все определения, формулы и аксиомы планиметрии.

Поиск

Планиметрические фигуры ⫸

Планиметри ⫸

Аксиомы планиметрии 16 штук ⫸

Определение планиметрии ⫸

Помощь по планиметрии ⫸

Навигация:

Произвольный треугольник

Медиана, биссектриса, высота

Правильный треугольник

Прямоугольный треугольник

Трапеция

Параллелограмм

Прямоугольник, квадрат, ромб

Окружность, круг, сектор

n-угольник

Аксиомы

Планиметрия - фигуры

Основные формулы по всем фигурам планиметрии: треугольники, окружности, прямоугольники, параллелограммы, квадраты, ромбы и прочие.

Произвольный треугольник

Для произвольного треугольника:

Сумма углов треугольника:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180 \degree = \pi$$

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

$$S = \dfrac{1}{2}a \cdot b \cdot \sin \gamma$$

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

$$S = \dfrac{1}{2}b \cdot h_b$$

Формула полупериметра треугольника:

$$p = \dfrac{a+b+c}{2}$$

Формула Герона для площади треугольника:

см. калькулятор по формуле Герона

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

$$S = \dfrac{abc}{4R}$$

Теорема косинусов:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha$$

Теорема синусов:

$$\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} = 2R$$

Медиана, биссектриса, высота

Формула медианы:

$$m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$$

Формула и свойство биссектрисы:

$$l_a = \sqrt{bc-b_1 c_1} \newline l_a = \dfrac{\sqrt{cb(b+c+a)(b+c-a)}}{c+b} \newline \dfrac{b}{c} = \dfrac{b_1}{c_1}$$

Формула высоты треугольника:

$$h_a = \dfrac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Свойства высот треугольника:

$$\dfrac{h_a}{b} = \dfrac{h_b}{a} \newline \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c} = \dfrac{1}{r}$$

Правильный треугольник

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

$$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$$

Площадь правильного треугольника:

$$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

$$r = \dfrac{a+b-c}{2}$$

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

$$R = \dfrac{c}{2}$$

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S = \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}hc$$

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

$$h^2 = a_c \cdot b_c \newline a^2 = a_c \cdot c \newline b^2 = b_c \cdot c$$

Трапеция

Длина средней линии трапеции:

$$l = \dfrac{a+b}{2}$$

Площадь трапеции:

$$S = l \cdot h = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$

Параллелограмм

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

$$S = bh$$

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

$$S = ab \cdot \sin \gamma$$

Прямоугольник, квадрат, ромб

Площадь квадрата через длину его стороны:

$$S = a^2$$

Площадь квадрата через длину его диагонали:

$$S = \dfrac{1}{2}d^2$$

Площадь ромба:

$$S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 = a^2 \sin \gamma$$

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

$$S = ab$$

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

$$S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin \varphi$$

Площадь фигуры через полупериметр и радиус вписанной окружности:

$$S = pr \newline r = \dfrac{S}{p}$$

Окружность, круг, сектор

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

$$DO \cdot OD = AO \cdot OC$$

Теорема о касательной и секущей:

$$BA^2 = BC \cdot BD$$

Теорема о двух секущих:

$$HF \cdot HE = HM \cdot HN$$

Теорема о центральном и вписанном углах:

Свойство центральных углов и хорд:

$$\alpha = \dfrac{\beta + \gamma}{2}$$

Свойство центральных углов и секущих:

$$\alpha = \dfrac{\beta - \gamma}{2}$$

Условие, чтобы вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник

$$a + c = b + d$$

Условие, чтобы описать окружность вокруг четырёхугольника:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника

$$\alpha + \gamma = \beta + \varphi = 180 \degree$$

Длина окружности:

$$L = 2 \pi R$$

Длина дуги окружности:

$$L_{\text{дуги}} = \dfrac{\pi \cdot R \cdot \alpha_{\text{град}}}{180} = \alpha_{\text{рад}} \cdot R$$

Площадь сектора:

$$S_{\text{сектора}} = \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot \alpha_{\text{град}}}{360} = \dfrac{\alpha_{\text{рад}} \cdot R^2}{2}$$

Площадь круга:

$$S = \pi R^2$$

Площадь кольца:

$$S = \pi (R^2-r^2)$$

Площадь кругового сегмента:

$$S = \dfrac{R^2}{2} (\alpha-\sin \alpha)$$

n-угольник

Сумма углов n-угольника:

$$\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n = 180 \degree \cdot (n-2) = \pi \cdot (n-2) \text{рад}$$

Центральный угол правильного n-угольника:

$$\alpha = \dfrac{360 \degree}{n} = \dfrac{2 \pi}{n} \text{рад}$$

Площадь правильного n-угольника:

$$S = \dfrac{n \cdot \alpha_n \cdot r}{2}$$

Планиметрия - аксиомы

Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая.

Аксиомы принадлежности

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Аксиомы расположения

3. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Аксиомы измерения

5. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

6. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.