Сборник всех формул и таблиц тригонометрии, которые должны быть всегда под рукой у школьников и студентов.
Список включает в себя формулы синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов, секансов, косекансов, различные формулы преобразования и таблицы приведения.
Определение тригонометрии
Синус (sin) - отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$$\sin x = \dfrac{a}{c}$$
Косинус (cos) - отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$$\cos x = \dfrac{b}{c}$$
Тангенс (tg) - отношение противолежащего катета к прилежащему:
$$\tg x = \dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$
Котангенс (ctg) - отношение прилежащего катета к противолежащему:
$$\ctg x = \dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{\tg x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}$$
Секанс (sec) - отношение гипотенузы к прилежащему катету:
$$\sec x = \dfrac{c}{b}=\dfrac{1}{\cos x}$$
Косеканс (cosec) - отношение гипотенузы к противолежащему катету:
$$\cosec x = \dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{\sin x}$$
$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \newline \tg^2 x + 1 = \dfrac{1}{\cos^2 x} \newline \ctg^2 x + 1 = \dfrac{1}{\sin^2 x}$$
Формулы двойного угла
$$\sin 2x = 2\sin x * \cos x = \dfrac{2\tg x}{1 + \tg^2 x}$$
$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2x - 1 = 1 - 2\sin^2 x = \dfrac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x}$$
$$\tg 2x = \dfrac{2\tg x}{1 - \tg^2 x}$$
$$\ctg 2x = \dfrac{1 - \tg^2 x}{2\tg x} = \dfrac{\ctg^2x - 1}{2\ctg x}$$
$$\sin(x+y)=\sin x * \cos y + \cos x * \sin y$$
$$\sin(x-y)=\sin x * \cos y - \cos x * \sin y$$
$$\cos(x+y)=\cos x * \cos y - \sin x * \sin y$$
$$\cos(x-y)=\cos x * \cos y + \sin x * \sin y$$
$$\tg(x+y)=\dfrac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x * \tg y}$$
$$\tg(x-y)=\dfrac{\tg x - \tg y}{1 + \tg x * \tg y}$$
$$\ctg(x+y)=\dfrac{1 - \tg x * \tg y}{\tg x + \tg y} = \dfrac{\ctg x * \ctg y - 1}{\ctg y + \ctg x}$$
$$\ctg(x-y)=\dfrac{1 + \tg x * \tg y}{\tg x - \tg y} = \dfrac{\ctg x * \ctg y + 1}{\ctg y - \ctg x}$$
Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение
$$\sin x + \sin y = 2\sin \left( \dfrac{x+y}{2} \right) * \cos \left( \dfrac{x-y}{2} \right)$$
$$\sin x - \sin y = 2\cos \left( \dfrac{x+y}{2} \right) * \sin \left( \dfrac{x-y}{2} \right)$$
$$\cos x + \cos y = 2\cos \left( \dfrac{x+y}{2} \right) * \cos \left( \dfrac{x-y}{2} \right)$$
$$\cos x - \cos y = -2\sin \left( \dfrac{x+y}{2} \right) * \sin \left( \dfrac{x-y}{2} \right)$$
$$\tg x + \tg y = \dfrac{\sin(x+y)}{\cos x * \cos y}$$
$$\tg x - \tg y = \dfrac{\sin(x-y)}{\cos x * \cos y}$$
$$\ctg x + \ctg y = \dfrac{\sin(y+x)}{\sin x * \sin y}$$
$$\ctg x - \ctg y = \dfrac{\sin(y-x)}{\sin x * \sin y}$$
Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму
$$\sin x * \sin y = \dfrac{1}{2} \left( \cos(x-y) - \cos(x+y) \right)$$
$$\cos x * \cos y = \dfrac{1}{2} \left( \cos(x-y) + \sin(x+y) \right)$$
$$\sin x * \cos y = \dfrac{1}{2} \left( \sin(x-y) + \sin(x+y) \right)$$
Формулы понижения степени
$$\sin^x \dfrac{x}{2} = \dfrac{1 - \cos x}{2}$$
$$\cos^x \dfrac{x}{2} = \dfrac{1 + \cos x}{2}$$
$$\tg^x \dfrac{x}{2} = \dfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$$
$$\ctg^x \dfrac{x}{2} = \dfrac{1 + \cos x}{1 - \cos x}$$
Формулы половинного угла
$$\tg x = \dfrac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \dfrac{1 - \cos 2x}{\sin 2x}$$
$$\ctg x = \dfrac{1 + \cos 2x}{\sin 2x} = \dfrac{\sin 2x}{1 - \cos 2x}$$
Тригонометрическая окружность
По тригонометрической окружности можно визуально быстро найти значения тригонометрических функций:
$$\sin x = a \quad \Rarr \quad x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in Z \newline \sin x = a \quad \Rarr \quad x = \begin{cases} \arcsin a + 2 \pi k, \quad k \in Z \ \pi - \arcsin a + 2 \pi k, k \in Z \end{cases} $$
$$\cos x = a \quad \Rarr \quad x = \plusmn \arccos a + 2 \pi n, \quad n \in Z$$
$$\tg x = a \quad \Rarr \quad x = \arctg a + \pi n, \quad n \in Z$$
$$\ctg x = a \quad \Rarr \quad x = \arcctg a + \pi n, \quad n \in Z$$
$$\sin x = 0 \quad \Rarr \quad x = \pi n, \quad n \in Z \newline \sin x = 1 \quad \Rarr \quad x = \dfrac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in Z \newline \sin x = -1 \quad \Rarr \quad x = -\dfrac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in Z \newline \cos x = 0 \quad \Rarr \quad x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z \newline \cos x = 1 \quad \Rarr \quad x = 2 \pi n, \quad n \in Z \newline \cos x = -1 \quad \Rarr \quad x = \pi + 2 \pi n, \quad n \in Z \newline \tg x = 0 \quad \Rarr \quad x = \pi n, \quad n \in Z \newline \ctg x = 0 \quad \Rarr \quad x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z $$
